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對數的計算公式是什么?對數的計算公式性質及推導過程

來源:CSDN 時間:2023-03-02 09:27:06

對數的計算公式

性質編輯

① ;


(資料圖片僅供參考)

②  ;

③負數與零無對數.

④ *  =1;

恒等式及證明

a^log(a)(N)=N (a>0 ,a≠1)

推導:log(a) (a^N)=N

恒等式證明

在a>0且a≠1,N>0時

設:當log(a)(N)=t,滿足(t∈R)

則有a^t=N;

a^(log(a)(N))=a^t=N;

證明完畢

運算法則編輯

(M,N∈R)如果 ,則m為數a的自然對數,即

,e=2.718281828…為自然對數的底。

定義: 若   則

基本性質:

1、

2、

3、

4、

5、

推導:

1、因為  ,代入則  ,即  。

2、MN=M×N 由基本性質1(換掉M和N)

由指數的性質

又因為指數函數是單調函數,所以

3、與(2)類似處理 M/N=M÷N

由基本性質1(換掉M和N)

由指數的性質

又因為指數函數是單調函數,所以

4、與(2)類似處理   由基本性質1(換掉M)

由指數的性質

又因為指數函數是單調函數,所以

或   由基本性質2(展開  ,如圖所示)

對數基本性質4推導過程

基本性質4推廣

推導如下: 由換底公式(見下面)[  是  ,e稱作自然對數的底]

換底公式的推導: 設       則

其中

得:

由基本性質4可得

再由換底公式

換底公式編輯

設b=a^m,a=c^n,則b=(c^n)^m=c^(mn)………………………………①

對①取以a為底的對數,有:log(a)(b)=m……………………………..②

對①取以c為底的對數,有:log(c)(b)=mn……………………………③

③/②,得:log(c)(b)/log(a)(b)=n=log(c)(a)∴log(a)(b)=log(c)(b)/log(c)(a)

注:log(a)(b)表示以a為底x的對數。

換底公式拓展:

以e為底數和以a為底數的公式代換:

logae=1/(lna)

推導公式編輯

log(1/a)(1/b)=log(a^-1)(b^-1)=-1/-1logab=loga(b)

loga(b)*logb(a)=1

求導數編輯

(xlogax)"=logax+1/lna

其中,logax中的a為底數,x為真數;

(logax)"=1/xlna

特殊的即a=e時有

(logex)"=(lnx)"=1/x

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