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世界熱點!什么是實數(shù)?數(shù)軸上的點與實數(shù)是什么意思?

來源:CSDN 時間:2023-02-15 11:12:52


【資料圖】

數(shù)是比時間,空間還基本的屬性,萬事萬物皆有數(shù)! 自然數(shù)就是1,2,3,4,5... 常言到,數(shù)軸上的點與實數(shù)一一對應(yīng).數(shù)軸是連續(xù)的, 實數(shù)集合也是連續(xù)的. 那么,實數(shù)的連續(xù)性到底是什么意思呢? 1.戴德金分割創(chuàng)建實數(shù)集合 把有理數(shù)分成甲、乙兩部分,使乙中每個數(shù)比甲中每個數(shù)大,這種分法叫做有理數(shù)的一個戴德金分割,簡稱分割。 有理數(shù)的每個分割確定一個實數(shù)。有縫隙的分割確定一個無理數(shù),沒有縫隙的分割確定一個有理數(shù)。 這樣建立實數(shù)系的方法是德國數(shù)學(xué)家戴德金(J.W.R. Dedekind,1831~1916)提出來的。 可見,無理數(shù)把有理數(shù)之間的縫隙全部填充了起來. 2.連續(xù)的性質(zhì) 我們把全體實數(shù)分成甲、乙兩個非空集合,如果甲集合里任一個數(shù)a比乙集合里的任一個數(shù)b都小, 或者甲集合里有最大數(shù),或者乙集里有最小數(shù),兩種情況必居其一,有且只有一種,這就叫做實數(shù)的連續(xù)性。 通俗的解釋就是:用一把刀去砍一個數(shù)軸,必然砍到一個實數(shù),這個實數(shù)或者屬于甲,或者屬于乙,二者必具其一. 數(shù)軸上的點與實數(shù)一一對應(yīng).這個知識點可以當成實數(shù)的定義,是公理或定義. 因為線段是連續(xù)的,所以我們也說實數(shù)是連續(xù)的.戴德金用無理數(shù)填充了所有有理數(shù)的縫隙. 連續(xù)的一個性質(zhì). 如果用4條連續(xù)的線段圍成一個方形,中間灌滿水,水是跑不出來的, 因為線段沒有縫隙. 實數(shù)一個接一個連在一起,沒有縫隙. 3.萬物皆是數(shù),線段并不由點構(gòu)成,而是由無窮小線段構(gòu)成.線段包含點. 想一想也確實耐人尋味,這個連續(xù)的線,都能夠用數(shù)來表達,難怪萬物皆是數(shù)了. 但這里面有一個悖論, 數(shù)描述的只是一個點,點是沒有長度的,而線段是有長度的. 這就是說,無窮多個點也構(gòu)不成線段.所以應(yīng)該說,這個點是一個無窮小線段,而不是邏輯上的一個點. 就是說,線段只能由線段來構(gòu)成,而不能由點來構(gòu)成.所以嚴謹?shù)恼f法應(yīng)該是這個實數(shù)代表了一個無窮小線段.

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